Bazy potęg zewnetrznych przestrzeni skończenie wymiarowych

Niech układ wektorów

X_{1}, …, X_{k}

będzie bazą k–wymiarowej przestrzeni wektorowej V. Iloczyny X_{i} ⊗ X_{j} gdzie (i, j = 1, …, k) tworzą bazę przestrzeni k^{2}–wymiarowej V ⊗ V. Wektory postaci X_{i} ⊗ X_{j} + X_{j} ⊗ X_{i} gdzie (1 ≤ i ≤ j ≤ k) tworzą układ generatowów podprzestrzeni N. Rzeczywistość, dla dowolnych wektorów

X = ∑_{i=1}^{k} a_{i}X_{i}, Y = ∑_{j=1}^{k} b_{j}X_{j}

przestrzeni V mamy

X⊗Y +Y ⊗X = (∑_{i=1}^{k} a_{i}X_{i})⊗(∑_{j=1}^{k} b_{j}X_{j})+(∑_{j=1}^{k} b_{j}X_{j})⊗(∑_{i=1}^{k} a_{i}X_{i}) = ∑_{i=1}^{k} ∑_{j=1}^{k} a_{i}b_{j}(X_{i}⊗X_{j}+X_{j}⊗X_{i})

i tym samym dowolna kombinacja wektorów postaci X ⊗ Y + Y ⊗ X jest kombinacją liniową wektorów. Wektory X_{i} ∧ X_{j} gdzie (1 ≤ i ≤ j ≤ k) tworzą bazę przestrzeni ∧^{2}V. Istotnie, tworzą one układ generatorów, bo dla dowolnego wektora

∑_{i=1}^{k} ∑_{j=1}^{k} a_{ij}(X_{i} ⊗ X_{j})

przestrzeni V ⊗ V jest klasa równoważności w przestrzeni ∧^{2}V jest sumą

∑_{i=1}^{k} ∑_{j=1}^{k} a_{ij}(X_{i} ∧ X_{j}) = ∑_{1≤i<j≤k}(a_{ij} − a_{ji})(X_{i} ∧ X_{j})

(ponieważ X_{i} ∧ X_{j} = −X_{i} ∧ X_{j} oraz X_{i} ∧ X_{j} = 0 to znaczy kombinacją liniową wektorów X_{i} ∧ X_{j} gdzie (1 ≤ i ≤ j ≤ k). Dalej wektory te są liniowo niezależne, stąd bowiem, że dla jakiś elementów a_{ij} gdzie (1 ≤ i ≤ j ≤ k) ciała F jest

∑_{1≤i<j≤k} a_{ij}(X_{i} ∧ X_{j}) = 0

wynika, że wektor

∑_{1≤i<j≤k} a_{ij}(X_{i} ⊗ X_{j})

należy do podprzestrzeni N i daje sie tym samym zapisać w postaci sumy

∑_{1≤i<j≤k} a_{ij}(X_{i} ⊗ X_{j}) = ∑_{1≤i<j≤k} b_{ij}(X_{i} ⊗ X_{j} + X_{j} ⊗ X_{i})

w której b_{ij} są odpowiednio dobranymi elementami ciała P. A stąd otrzymujemy

∑_{1≤i<j≤k} b_{ij}(X_{i} ⊗ X_{j}) + 2 ∑_{i=1}^{k} b_{ij}(X_{i} ⊗ X_{j}) + ∑_{1≤i<j≤k}(b_{ij} − a_{ij})(X_{i} ⊗ X_{j}) = 0

Z liniowej niezależności wektorów X_{i} ⊗ X_{j}, gdzie (i, j = 1, ......, k) od razu wynika, że w każdej z tych trzech sum wszystkie współczynniki są równe zeru. Jest wieć b_{ij} = 0, gdzie (1 ≤ i ≤ j ≤ k), 2b_{ij} = 0, gdzie (i = 1, …, k) i w konsekwencji także a_{ij} = 0, gdzie (1 ≤ i ≤ j ≤ k), a to oznacza, że może mieć miejsce tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki a_{ij} są zerami. Zupełnie analogicznie wykazuje sie, że bazą przestrzeni ∧^{n}V, gdzie (n = 3, …, k) jest układ wszystkich wektorów postaci

X_{i_{1}} ∧ … ∧ X_{i_{n}}

w których ciąg i_{1}, ..., i_{n} oznacza dowolny podciąg rosnący (i_{1} < … < i_{n}) wybrany z ciągu 1, …, k. Jak dla n = 2 dowód sprawdza sie do wykazania, że

1. wektory postaci

X_{i_{1}} ⊗ … ⊗ X_{i_{1}}

w których ciąg j_{1}, …, j_{n} ( nie koniecznie różnych między sobą ) spośród liczb 1, …, k powstaje z analogicznego ciągu i_{1}, …, i_{n} przez podstawienie dwu elementów o różnych wskaźnikach, tworzą układ generatorów podprzestrzeni N przestrzeni ⊗^{n}V występującej w definicji przestrzeni ∧^{n}V,

2. wektory X_{i_{1}} ∧ … ∧ X_{i_{n}} tworzą układ generatorów przestrzeni ∧^{n}V

3. wektory X_{i_{1}} ∧ … ∧ X_{i_{n}} są liniowo niezależne, do czego wykazania potrzebna jest właśnie informacja uzyskania w punkcie 1.